Oleh: Supriaten, Guru SMPN 5 Tanah Grogot, Paser, Kalimantan Timur
KOMPAS.com - Dalam matematika, himpunan memiliki beberapa jenis. Mulai dari himpunan bagian, himpunan semesta, maupun himpunan kosong. Kali ini kita akan mempelajari penerapan operasi biner pada dua himpunan.
Operasi biner pada himpunan adalah perhitungan yang menggabungkan dua elemen dari himpunan untuk menghasilkan unsur lain atau baru. Jika A dan B adalah dua himpunan maka terdapat empat operasi biner, yaitu:
Operasi gabungan atau union
Himpunan gabungan dilambangkan dengan A ∪ B. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Dapat ditulis sebagai berikut:
A ∪ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Baca juga: Rumus Jumlah Deret Geometri
Penulisan anggota himpunan A dan B cukup dituliskan hanya satu kali saja jika gabungan dari himpunan A dan B memiliki anggota yang sama. Agar lebih memahami operasi gabungan perhatikan permasalahan berikut!
Contoh:
Dua orang kakak beradik bermain gundu secara bersama-sama. Warna gundu yang dimiliki kakak beradik terlihat pada tabel di bawah ini:
Warna | Kakak | Adik |
Kuning | v | - |
Merah | v | v |
Biru | v | v |
Hitam | - | v |
Hijau | v | - |
Ungu | - | v |
Putih | - | v |
Orange | v | - |
Dari informasi data tabel di atas, sajikan setiap anggota himpunan dengan cara mendaftarkan setiap anggotanya dan buatlah gambar diagram venn yang menunjukkan A ∪ B tersebut?
Penyelesaian:
Jika A adalah himpunan warna gundu kakak dan B adalah himpunan warna gundu adik, maka:
A = {Kuning, Merah, Biru, Hijau, Orange}
B = {Merah, Biru, Hitam, Ungu, Putih}
Diagram Venn yang menunjukkan himpunan A ∪ B ditunjukkan oleh daerah yang diarsir pada gambar berikut:
Daerah yang diarsir dari dua himpunan di atas merupakan daerah gabungan dari dua himpunan A dan B, sehingga:
A ∪ B = {Kuning, Orange, Hijau, Biru, Merah, Ungu, Putih, Hitam}
Baca juga: Rumus Jumlah Suku ke-n Barisan Aritmatika
Operasi irisan atau intersection
Himpunan semua anggota yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B adalah irisan himpunan A dan B. Dilambangkan A ∩ B = {x?x ∈ A dan x ∈ B}. Untuk memahami konsep irisan perhatikan contoh berikut ini!
Contoh:
Nayla dan Puput pergi ke pasar membeli buah segar, seperti tampak pada gambar di bawah ini!
- Jika A adalah himpunan buah segar yang dibeli oleh Nayla dan B adalah himpunan buah segar yang dibeli oleh Puput, nyatakan setiap anggota himpunan dengan cara mendaftarkan setiap anggotanya!
- Apakah ada anggota himpunan A dan B yang sama? sebutkan!
- Dapatkah kamu menggambar diagram venn A dan B tersebut?
Penyelesaian:
- A= {Pisang, Rambutan, Mangga, Jeruk}
B= {Pisang, Apel, Jeruk, Mangga, Pir} - Untuk melihat apakah ada anggota himpunan A yang sama dengan anggota himpunan B dapat dilakukan dengan membuat tabel:
Nama buah Anggota himpunan A Anggota himpunan B Pisang ∈ ∈ Rambutan ∈ ∉ Mangga ∈ ∈ Jeruk ∈ ∈ Pir ∉ ∈ Apel ∉ ∈ - Gambar diagram venn
Daerah yang diarsir dari dua himpunan tersebut merupakan daerah irisan dari dua himpunan A dan B, sehingga A ∩ B = { Pisang, Mangga, Jeruk }
Baca juga: Rumus Luas Selimut Tabung dan Contoh Soalnya
Operasi komplemen
Diketahui S adalah suatu himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.
Komplemen himpunan A dilambangkan dengan adalah suatu himpunan yang semua anggotanya merupakan himpunan S tetapi bukan anggota himpunan A.
Definisi notasi pembentuk suatu himpunan dapat ditulis {x | x ∈ S dan x ∉ A}
Perhatikan contoh soal berikut!
Diketahui:
S = { x ?x ≤12, x∈A}A = { x ?x ≤12, x∈G }B = { x ?x<10, x∈P}
Tentukanlah:
- Anggota himpunan S, A, dan B
- Buatlah diagram venn yang menunjukkan
- Buatlah diagram venn yang menunjukkan
Penyelesaian:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
B = { 2, 3, 5, 7}
- Gambar diagram venn yang menunjukkan adalah sebagai berikut:
Maka yang merupakan anggota himpunan = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }
-
Gambar diagram venn yang menunjukkan adalah sebagai berikut:
Maka yang merupakan anggota himpunan = { 1, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12 }
Baca juga: Rumus Luas Selimut Kerucut
Operasi selisih atau difference
Selisih B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A – B. Ditulis:
A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} =
Contoh soal:
Perhatikan himpunan berikut ini:
S = { x ?x ≤15, x ∈ A}
A = { x ?x ≤11, x ∈ P }
B = { x ?5 <x<15, x ∈ J}
Tentukan:
- A – B dan buatlah gambar diagram Venn-nya.
- B – A dan buatlah gambar diagram Venn-nya.
Penyelesaian:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 15 }
A = { 2, 3, 5, 7, 11 }
B = { 7, 9, 11, 13 }
Himpunan A – B artinya himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B adalah:
A – B = { 2, 3, 5 }
Himpunan B – A artinya himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A adalah:
B – A = { 9, 13 }
Baca juga: Rumus Panjang Rusuk Kubus
Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Kompas.com. Mari bergabung di Grup Telegram "Kompas.com News Update", caranya klik link https://t.me/kompascomupdate, kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel.