Logika Matematika: Pengertian dan Jenis-jenisnya

KOMPAS.com – Pernahkah kamu mendengar istilah negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi? Kelima istilah tersebut adalah logika matematika. 

Apa yang dimaksud dengan logika matematika? Berikut adalah penejelasannya!

Pengertian logika matematika

Logika matematika adalah penalaran atau landasan berpikir untuk mengambil suatu kesimpulan. Logika matematika menjadi landasan untuk memperoleh kebenaran yang didasari dengan pembuktian juga pemikiran yang rasional. 

Logika matematika biasanya diterapkan untuk mencari pembenaran dari suatu proporsi atau pernyataan.  

Baca juga: 6 Penerapan Konsep Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari

Pengertian proposisi

Proposisi adalah pernyataan yang dapat bernilai benar ataupun salah. Proposisi adalah pernyataan, sehingga kalimat perintah dan juga pertanyaan tidak termasuk preposisi.  Contoh proposisi adalah sebagai berikut:

• Indonesia adalah negara hukum. 
• Kucing adalah hewan mamalia dari keluarga Felidae.
• Nyamuk Aedes Aegypti menyebabkan penyakit demam berdasar dengue (DBD). 

Proposisi tidak hanya terdiri dari satu kalimat, namun juga bisa terbentuk dari dua kalimat. Dilansir dari Stanford University, logika matematika dapat menentukan bagaimana kebenaran dalam satu proposisi ataupun kombinasi proposisi yang memengaruhi satu sama lain. 

Baca juga: Mengapa Matematika Bermanfaat Menyelesaikan Masalah?

Jenis-jenis logika matematika

Jenis logika matematika yang pertama adalah ingakaran atau negasi. Negasi adalah kebalikan dari preposisi. Jika preposisi awal (P) bernilai benar, maka pernyataan negasinya (~P) adalah salah. 

Contohnya ingkaran atau negasi adalah:

• P: Semua anak-anak suka bermain air.
  ~P: Ada anak-anak yang tidak suka bermain air. 
• P: Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung.
  P: Hari ini hujan dan saya membawa payung.

Baca juga: Kenapa Matematika Susah?

Negasi

Jenis logika matematika selanjutnya adalah konjungsi. Konjungsi berlaku pada preposisi majemuk atau terdiri dari dua pernyataan (p dan q) yang dihubungkan oleh kata “dan”.

Dilansir dari Mathematics LibreTexts, konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataan benar. Dan akan bernilai salah jika salah satu pernyataan atau keduanya bernilai salah.

Kebenaran proposisi menurut konjungsi, digambarkan dalam tabel kebenaran konjungsi.

Contoh konjungsi adalah:

• p: Ular adalah kelompok hewan reptil. (benar)
  q: Buaya adalah kelompok hewan reptil. (benar)
  p^q: Yoghurt dan keju adalah produk olahan susu. (benar)

Pernyataan di atas adalah benar, karena p dan q bernilai benar. Jika salah satu pernyataan adalah salah, maka konjungsinya bernilai salah. Contohnya:

• Ular adalah kelompok hewan reptil. (benar)
  Ikan adalah kelompok hewan reptil. (salah)
  Ular dan ikan adalah kelompok hewan reptil. (salah)

Baca juga: Apa itu Faktorial dalam Matematika?

Disjungsi adalah logika matematika pada proporsi majemuk yang menghubungkan kalimat dengan kata “atau” dan disimbolkan dengan “V”.

Dilansir dari Stanford Encyclopedia of Philosophy, pernyataan dalam disjungsi akan bernilai benar jika salah satu pernyataan benar dan akan salah jika dua-duanya bernilai salah.

Artinya, proporsi hanya bernilai salah jika kedua kalimatnya salah. Proporsi tetap benilai benar walaupun salah satu kalimatnya bernilai salah. Beirkut adalah tebal kebenaran disjungsi:

Contoh disjungsi adalah:

• Acara tersebut akan digelar pada hari sabtu atau minggu.
• Liburan kali ini dapat diisi dengan jalan-jalan keluar atau membaca buku di rumah.
• Pelamar harus memiliki pendidikan magister atau pengalaman mengajar selama dua tahun.

Baca juga: Ilmu Pengetahuan Logika, Contoh Analisis, Klasifikasi, dan Definisi

Jenis logika matematika selanjutnya adalah implikasi. Implikasi ditandai dengan penggunakan kata hubung seperti jika dan maka dan disimbolkan dengan tanda “→”.

Implikasi hanya bernilai salah jika pernyataan kedua (q) bernilai salah. Implikasi bernilai benar jika kedua pernyataan (p dan q) bernilai benar, p yang bernilai benar, atau dua-duanya bernilai salah. Berikut adalah tabel kebenaran implikasi:

Contoh implikasi adalah:

• Jika hari ini hujan, saya akan membawa payung. (benar)
• Jika hari ini sembuh, saya akan pergi ke sekolah. (benar)
• Jika 3 adalah bilangan prima, maka 4 adalah bilangan prima. (salah)

Biimplikasi adalah logika matematika ditandai dengan penggunakan kata “jika dan hanya jika”. Biimplikasi terjadi dalam proposisi majemuk dan disimbolkan dengan “↔”.

Biimplikasi hanya bernilai benar jika dua pernyataan (p dan q), dua-duanya bernilai benar atau dua-duanya bernilai salah. Biimplikasi akan bernilai salah jika salah satu dari dua pernyataan bernilai salah. berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi:

Contoh biimplikasi adalah:

• Ibu akan memberikan hadiah sepeda jika dan hanya jika aku memenangkan lomba menulis cerpen.
• Aku akan memaafkanmu jika dan hanya jika kamu tidak mengulangi kesalahan itu lagi.